“匈牙利算法”最早是由匈牙利数学家D.Koning用来求矩阵中0元素的个数的一种方法,由此他证明了“矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直线数”。1955年由W.W.Kuhn在求解著名的指派问题时引用了这一结论, 并对具体算法做了改进,仍然称为“匈牙利算法”。
指派问题是人员调度问题中的经典问题———m个人完成n项工作,且每个人完成每项工作的效率不一样,确定任务指派方案使得完成任务总的效率最高。本文研究最简单的指派问题，即假设任务效率一样，如何获得最大指派数目，这也是图论中的最大匹配问题。
图论中相关概念
二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集U和V，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图2的形式。
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。
最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目。
最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择。最小覆盖要求用最少的点（$Ｘ$集合或$Ｙ$集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数
最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连。
最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径，路径长可以为 0（即单个点）。也就是说用尽量少的不相交简单路径覆盖DAG的所有结点。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个：$Ｘ$结点集中的$i$和$Y$结点集中的$i’$,如果有边$i\rightarrow j$，则在二分图中引入边$i\rightarrow j’$，设二分图最大匹配为m,则结果就是n-m。
从上述概念描述中可以得到三个定理:
定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）
定理2：最大匹配数 = 最大独立数
定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数
匈牙利算法相关概念
求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出)
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的,这也是算法的核心。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。
匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵BFS树：
这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。
代码实现
为了简单起见代码采用矩阵方式存储，换成邻接表也一样。下面采用两个版本，一个是DFS版本，采用递归方式，当然用栈实现也一样，另一种是BFS版本，主要用队列和prev数组。这里python中的队列虽然用list也可以轻松实现，但pop(0)实际上开销还是很大的，因此还是用链式存储结构Deque。
测试图采用图4数据。
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#!/Users/Trucy/anaconda/bin/python
# coding: utf-8
import timeit
from collections import deque
#==============================================================================
# 匈牙利算法
#==============================================================================
class HungarianAlgorithm(object):
def __init__(self,graph):
"""
@graph:图的矩阵表示
"""
self.graph=graph
self.n=len(graph)
def find(self,x):
for i in range(self.n):
if self.graph[x][i]==1 and not self.used[i]:
self.used[i]=1#放入交替路
if self.match[i]==-1 or self.find(self.match[i])==1:
self.match[i]=x
self.match[x]=i
print(x+1,'->',i+1)
return 1
return 0
def hungarian1(self):
"""递归形式
"""
self.match=[-1]*self.n#记录匹配情况
self.used=[False]*self.n#记录是否访问过
m=0
for i in range(self.n):
if self.match[i]==-1:
self.used=[False]*self.n
print('开始匹配:',i+1)
m+=self.find(i)
return m
def hungarian2(self):
"""循环形式
"""
match=[-1]*self.n#记录匹配情况
used=[-1]*self.n#记录是否访问过
Q=deque() #设置队列
ans=0
prev=[0]*self.n #代表上一节点
for i in range(self.n):
if match[i]==-1:
Q.clear()
Q.append(i)
prev[i]=-1#设i为出发点
flag=False #未找到增广路
while len(Q)>0 and not flag:
u=Q.popleft()
for j in range(self.n):
if not flag and self.graph[u][j]==1 and used[j]!=i:
used[j]=i
if match[j]!=-1:
Q.append(match[j])
prev[match[j]]=u#记录点的顺序
else:
flag=True
d=u
e=j
while(d!=-1):#将原匹配的边去掉加入原来不在匹配中的边
t=match[d]
match[d]=e
match[e]=d
d=prev[d]
e=t
print('mathch:',match)
print('prev:',prev)
print('deque',Q)
if match[i]!=-1:#新增匹配边
ans+=1
return ans
def do1():
graph=[(0,0,0,0,1,0,1,0),
(0,0,0,0,1,0,0,0),
(0,0,0,0,1,1,0,0),
(0,0,0,0,0,0,1,1),
(1,1,1,0,0,0,0,0),
(0,0,1,0,0,0,0,0),
(1,0,0,1,0,0,0,0),
(0,0,0,1,0,0,0,0)]
h=HungarianAlgorithm(graph)
print (h.hungarian1())
def do2():
graph=[(0,0,0,0,1,0,1,0),
(0,0,0,0,1,0,0,0),
(0,0,0,0,1,1,0,0),
(0,0,0,0,0,0,1,1),
(1,1,1,0,0,0,0,0),
(0,0,1,0,0,0,0,0),
(1,0,0,1,0,0,0,0),
(0,0,0,1,0,0,0,0)]
h=HungarianAlgorithm(graph)
print (h.hungarian2())
运行do1(),可以看到结果:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
开始匹配: 1
1 -> 5
开始匹配: 2
1 -> 7
2 -> 5
开始匹配: 3
3 -> 6
开始匹配: 4
4 -> 8
4
首先从1开始匹配一直到4（代码中到8实际不影响，因为接下来5，6，7，8都不会进入到递归了），遍历1~8（实际上遍历5~8即可），扩展第一个增广路为(1->5)，然后从2开始匹配，5是匹配点，于是找5的匹配点1，发现一条增广路(2->5->1->7),修改匹配，得到(2->5)(1->7),下面以此类推。
运行do2(),可以看到结果：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
mathch: [4, -1, -1, -1, 0, -1, -1, -1]
prev: [-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
deque deque([])
mathch: [6, 4, -1, -1, 1, -1, 0, -1]
prev: [1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
deque deque([])
mathch: [6, 4, 5, -1, 1, 2, 0, -1]
prev: [1, 2, -1, 0, 0, 0, 0, 0]
deque deque([1])
mathch: [6, 4, 5, 7, 1, 2, 0, 3]
prev: [3, 2, -1, -1, 0, 0, 0, 0]
deque deque([0])
4
其中match用来保存匹配点，prev用来保存增光路非匹配点顺序，其功能相当于递归方法中的隐式栈。
匈牙利算法的要点如下
- 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
- 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
- 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
- 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。
性能比较
两个方法各运行一千次:
1
2
print (timeit.Timer('do1()','from __main__ import do1').timeit(1000))
print (timeit.Timer('do2()','from __main__ import do2').timeit(1000))
结果:
1
2
0.01775275500040152
0.013543492999815498
两个版本的时间复杂度均为$O(V⋅E)$。DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。测试了两种算法的性能。对于稀疏图，BFS 版本明显快于 DFS 版本；而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。
ref
- 常庭懋, 韩中庚. 用”匈牙利算法”求解一类最优化问题[J]. 信息工程大学学报, 2004, 5(1):60-62.
- 张云华. 论匈牙利算法在指派问题管理工作中的应用[J]. 价值工程, 2016, 35(25).
- Renfei Song. 二分图的最大匹配[OL]. http://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html,2014.
- RichardXG. 匈牙利算法求二分图的最大匹配[OL]. http://blog.csdn.net/xuguangsoft/article/details/7861988,2012.
